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$SOLVED:Direct Sums. \quad Let U and V be subspaces of a vector space W. The sum of U and V, denoted U V, is defined to be the set of all vectors of the form u v, where u \in U and v \in V (a) Prove that U V and U \cap V are subspaces of W. (b) If U V=W and U \cap V=\mathbf{0}, then W is said to be the direct sum. In this case, we write W=U \oplus V. Show that every element w \in W can be written uniquely as w=u v, where u \in U and v \in V (c) Let U be a subspace of dimension k of a vector space$

SOLVED:Direct Sums. \quad Let U and V be subspaces of a vector s…

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